백준 11001 : 김치

$maxdate[s]=$ $s$일날 김치를 넣었을 때 최대의 김치싸대기를 날릴 수 있는, 김치를 빼는 날짜 $e$

$res(s,e)=$ $s$일날 김치를 넣고, $e$일날 김치를 뺐을 때 날리는 김치싸대기의 힘

 

그러면 정의에 따라

$res(s,e) = (e-s) \times t[e] + b[s]$이고,

$s$를 고정시킨다면 가능한 모든 $res(s,e)$값 중 $res(s,maxdate[s])$가 제일 클 것이다.

 

우리는 각 $s$ 시작일 마다 $res(s,maxdate[s])$값을 찾아주고 그들 중 최댓값을 구하면 된다.

 

그 전에, 우리는 다음 식을 증명할 수 있다. 

$maxdate[s] \leq maxdate[s+1]$

즉, 김치를 나중에 넣는다면, 최적의 빼는 날 $maxdate$가 김치를 일찍 넣었을 때보다 무조건 같거나 늦는다는 것이다. 

 

증명:

$res(s,e) = (e - s) \times t[e] + b[s]$이며, $e$가 $maxdate[s]$일 때 최댓값을 가진다.

$res(s+1,e) = (e-s-1) \times t[e] + b[s+1]$

$=(e-s) \times t[e] + b[s] - b[s] -t[e] + b[s+1]$

$=res(s,e) - t[e] -b[s] + b[s+1]$

 

$res(s,e)$값은 $e$가 $maxdate[s]$일 때 최댓값을 가지므로  

$res(s,e) - t[e] -b[s] + b[s+1]$를 최대화 시켜주는 $e$값을 구하려면 $t[e]$값이 $t[maxdate[s]]$보다 커야한다.

$t$배열은 감소하는 배열이므로 $e \geq maxdate[s]$를 만족해야 최댓값을 노려볼 수라도 있다.

 

그렇다면 어떤 $s$에 대해서 $maxdate[s]$를 구했다면,

$s$보다 큰 날짜들에서는 $maxdate[s]$ 이상인 날짜에서만 끝점을 탐색하면 되고,

반대로 $s$보다 작은 날짜들에서는 $maxdate[s]$ 이하인 날짜에서만 끝점을 탐색하면 된다.

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0)
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define ff first
#define ss second
#define LLINF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define INF 0x3f3f3f3f
#define uniq(x) sort(all(x)); x.resize(unique(all(x))-x.begin());
#define sz(x) (int)x.size()
#define pw(x) (1LL<<x)
 
using pii = pair<int, int>;
using ll = long long;
const ll MOD = 1e9 + 7;
const long double PI = acos(-1.0);
 
const int N = 100100;
int n, d;
ll t[N], b[N], dp[N];
ll ans = 0;
 
void solve(int l, int r, int s, int e) {
    // 탐색 범위 - s ~ e
    // cur ~ x의 값이 제일 큰 x를 찾자
    if(l > r) return;
    int cur = (l + r) / 2;
    ll mx = 0;
    int mxidx = -1;
    for(int i=s ; i<=e ; i++) {
        if(i < cur) continue;
        if(cur + d < i) continue;
        ll curans = (i - cur) * t[i] + b[cur];
        if(mx < curans) {
            mxidx = i;
            mx = curans;
        }
    }
    ans=max(ans,mx);
    if(l == r) return;
    solve(l, cur - 1, s, mxidx);
    solve(cur + 1, r, mxidx, e);
}
 
int main() {
    IOS;
    cin >> n >> d;
    for(int i=0 ; i<n ; i++)
        cin >> t[i];
    for(int i=0 ; i<n ; i++)
        cin >> b[i];
    solve(0,n-1,0,n-1);
    cout << ans << '\n';
}